相对论性质量(Transverse and Longitud

来源  :   商务推荐     2020-07-26 10:10:38

2020-07-26


自从爱因斯坦发现狭义相对论之后,人们了解到质量和能量有紧密的关係,着名的质能互换公式(mass-energy equivalence)为

$$E=\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2}\equiv mc^2$$

其中 $$p$$ 是物体的动量,$$c$$ 是光速,$$m_0$$ 是静止质量(rest mass; 也是一般人所熟知的质量),$$m$$ 称为相对论性质量(relativistic mass),它可以说是直接从能量 $$E$$ 除以定义 $$c^2$$ 而来。

这公式表示了我们所熟知的能量,除了包括动能、位能、热能…之外,总能量的一部分来自于或贡献给物体的质量 $$m_0$$ 本身,这里的质量指静止质量,之所以称静止质量是因为此乃物体(或系统)静止时,即动量 $$p=0$$ 时所测得的质量,此时能量并没有整个系统动能的贡献;静止质量又称罗伦兹不变质量(invariant mass),是因为不论是哪一个惯性座标观察者,各自测量到能量 $$E$$ 跟动量 $$p$$,必可从关係式 $$E^2-(pc)^2=m_0^2c^4$$ 得到 $$m_0$$ 为不变的质量常数。

由于狭义相对论指明,速率为 $$u$$ 的物体之动量可以写成 $$p=\gamma m_0u$$,其中 $$\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$$,所以有时人们会说运动中物体的质量会增加为 $$m=m_0\gamma$$,这个 $$m$$ 恰为上面所述的相对论性质量。

但质量也可以从物体被加速时其所受作用力与加速度的比值(这代表某种抵抗受力的程度)来定义,即 $$m=\frac{F}{a}$$ 公式。而狭义相对论告诉了我们时间和空间其实是很难区分的,两个不同的惯性座标观察者,各自测量到的时间和空间座标,不再是时间和空间各自独立,其转换式会将时间和空间(时空)混合。

更具体的说,假设相对于观察者 $$A$$,观察者 $$B$$ 沿着 $$x$$ 方向以固定速度 $$u$$ 来移动,则 $$B$$ 测量到的某物体的时空座标 $$(t’,x’,y’,z’)$$ 和 $$A$$ 所测量到的同一物体的时空座标 $$(t,x,y,z)$$ 彼此有一个关係

$$\displaystyle\begin{cases}t’=\gamma(t-\displaystyle\frac{u}{c^2}x)\\ x’=\gamma(x-ut)\\ y’=y\\ z’=z \end{cases}$$

其中 $$\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$$ 为常数。

特别要注意的是只有沿着运动方向的座标(此例子为 $$x$$ 方向)和时间座标混和,而垂直方向($$y$$ 和 $$z$$ 方向)座标则仍是独立的。但因速度涉及距离对时间的变化,所以不论 $$x,y,z$$ 方向测量到的物体速度,都是时间和空间混合的形式。

而明显的,平行运动方向($$x$$ 方向)的速度,和垂直运动方向($$y,z$$ 方向)的速度,其时空混和的形式是不同的。同理,加速度的平行方向和垂直方向的形式也是不同的。依相对论性的原理,我们也可推得电磁场对带电粒子的施力在不同座标之间的转换式,其平行观察者运动方向和垂直方向也是不同的。

综合以上所述,我们必须修改牛顿力学的 $$F=ma$$ 公式,使其区分平行运动方向和垂直方向。假设我们观察以固定速度 $$u$$ 沿着 $$x$$ 方向运动中的物体,其受力和加速度的关係为,

$$\begin{cases}f_x=m_La_x,~m_L=\gamma^3m_0\\ f_y=m_Ta_y,~m_T=\gamma m_0\\f_z=m_Ta_z,~m_T=\gamma m_0\\\end{cases}$$

重点在于,平行方向跟垂直方向的加速度对施力的抵抗程度不同,即平行方向为 $$m_L$$ 称为平行质量(longitudinal mass),垂直方向为 $$m_T$$ 称为垂直质量(transverse mass),两者都和静止质量有关,其关係式如公式所述,而平行质量和垂直质量只有在物体运动速度 $$u=0$$ (此时 $$\gamma=1$$)时相同,随着速度 $$u$$ 愈接近光速 $$(\gamma \to \infty)$$,平行质量和垂直质量愈来愈大,所以我们会发现越来越难推动此物体(和系统),而平行质量增加的比例大于垂直质量随速度 $$u$$ 增加的比例,即两者是不相等的。

平行质量以及垂直质量的区别多见于较旧的文献中。现代对于质量的见解,则倾向于将之定义为物体从静止中被加速时,作用力与加速度的比值,亦即 $$m=F/a$$。如前所述,这个说法所定义出来的质量即是静止质量 $$m_0$$,它是不会随座标系而改变。

参考资料:

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